スーパームーンと金環日食

2012/5/5は大きく明るい満月が見られるスーパームーンであった。また2012/5/21は金環日食である。見忘れた人は今日も、まだ大分大きいと思う。この2つが2週間ずれているのは決して偶然ではない。以下にまとめた。

# このblog記事は、昨今のトップアクセスであり、2012/5/6日の投稿後5/23日の時点で536アクセスとなり、まだまだアクセスが増えている。コメントをくださる方もおり、随時更新し続けている。ご訪問ありがとうございました。

日食の風景）
Bay Area (San Jose, CA, USA)にある自宅近辺での日食観察の風景である。太陽の写真は、食の最大である、18:34頃のもの。中心食帯ではないので、金環にはなっていない。

道路の向かい側の住民が、ピンホールで観察していて、5つ買った、日食メガネのいくつかをかしてあげたら、「Oh!!! Cool」と感動していた。最初は 「3Dメガネか??」と、こういうメガネの存在を知らなかったようである。
彼らは1994年の日食の話をしていたが、私は覚えていない。たまたま、このころも、米国に赴任していたはずなのだが。。

日食)

来る2012/5/21に日本の広いところで朝7時ごろに金環日食が見られる。中心食帯は東京などの真上を通る。添付写真のように2012/3/28日に刊行される雑誌Newtonの特別号(1,575円)は日食メガネ付きらしい。

http://bit.ly/GSa0PQ　によると、日食は、このあとカリフォルニアも通り、ベイエリアでも日没前に部分日食が見られそうである。(地図だと中心食帯が通るのはOregonあたりになりそうに見える)。日本と米国をつないだ一大天文ショーに期待している。以下に上記サイトの図を引用する。

2012/5/12の日食の見られる範囲と動き
左から始まり右に（すなわち地球の自転による太陽の動きと逆方向に）動く
途中日付変更線を超える

http://bit.ly/GR8kdT　にいって東京での予報をした結果は以下である。中心食の時間が朝7:34分なので、太陽は十分上に上がっていると思う。このとき、太陽の0.884の面積が欠ける。

米国で観察する人は、月の影が日付変更線を超えるので2012/5/20夕方になることに注意が必要である。米国Cupertino, CA近辺での日食予報を下にしめす。時間は、PST (UTC-8)のままなので、夏時間PDT(UTC-7)にして時計を1時間進める必要がある。すなわち、食の最大の時間は、18:33分となる。このとき、太陽の0.835の面積が欠ける。夕暮れ時といえど、まだ太陽高度は十分に高い。

地球の自転方向と逆の方向に日食が進むのは若干不思議だが、これは、地球の自転と同じ方向に地球の周りを回る月http://bit.ly/GR8guX　（下に図を引用する) の影が、地球の自転よりも速く地球をなめていくからである。

地球を中心においた月の動き、矢印は地球の自転と月の公転

http://bit.ly/GR8kdTにいって表示時間をUTC（原子時計に基づく変位の少ない国際的時刻基準、 平均太陽時のGMTにかわって用いられている。英国夏時間は、BST。http://bit.ly/JY8Kz4　)にして、現地の朝の時間に日食がおきる東京での食の中心時間をみると UTCで 5/20 22:34、現地の日没の前に日食がおきるベイエリアCupertinoの経度緯度をいれて食の中心時間をみると UTCで 5/21 1:39。10時間以上の時差のある部分を、月の影は3時間で、月が地球の周りを回っていく方向になめていくことになる。地球も同じ方向に自転しているので、天文ショーの時間が若干引き延ばされるだろう。

ちなみに太陽と月への距離は、地球のサイズに比べて、十分に遠いので、月の地球の周りの公転速度と地球の自転速度の差が日食の地球表面上の移動速度になると思う。
http://bit.ly/GSkkqY　によると、直線速度にして月の公転速度は1.01km/s、地球の自転速度は、473m/sとある。なので、影が月の公転速度方向に移動する。

これをFacebookで書いたら、いつも賢いコメントをくれる友人がこんな事を書いていた。地球の自転による動きと、日食の地点の動きが逆方向というのは余り意識していなかったけれど、あとの方のコメントにあるように、月の公転の速さと、地球の自転による地表の動きの速さの大小の問題になるよね。それは、それぞれの速さを知ればもちろん分かるけれど、それに寄らなくても、常識的な数字だけでも次の様に導ける（と、最初の発言だけを見たところで暗算していた、今更だけど書いておく）。
月までの距離と地球の半径との比率と、月の公転周期（１か月）と地球の自転周期（１日）との比率、の両方の比率の大小を比べれば良いわけだな。前者の比率は、38万キロと6400キロで、50倍以上だから、後者の比率より大きい、だから月の動きによる移動の方が効く。

安易に調べないで、もっと頭を使うべきであった。ともあれFacebookは、レスポンスが早くて勉強になる。が、先頭しか着目されないし、投稿の修正が効かないので、blogにはblogの良さがある。

日食メガネ)
日食を直視する場合には専用のメガネで観ないと危険である。

amazon.comで買った日食メガネ(5枚組)が、5/16日に届いた。太陽をみたら白っぽく見えた。これで準備万端。$10.25だったが、今 amazon.comをみたら、もはや売り切れだった。

スーパームーン）

月が軌道の近地球点で満月になるのは18年に1度しかない。これは実際には、2011/3月におきている。

近地点の満月は遠地球点時より直径が14%大きく見えるとのこと。ということは表面積は1.29倍、つまり30%明るい。が、2012/5/5(日本時間早朝) はSuperMoonと言われている。

こんなに近くに月がある2週間後の日蝕(2012年5/21)が金環日食であり、月が小さくて太陽を隠し切れないのだが、ちゃんと理由がある。

月の楕円軌道との関係)

地球→月→太陽と一直線になったとき日食、月→地球→太陽と並んだとき満月になる。このとき月が楕円軌道のどこにいるかというのが問題。楕円の向きは18年で地球を１周するため。楕円の長軸方向と太陽-地球の方向がほぼ一致することが稀である。
http://bit.ly/J7lu50　から月の軌道を引用する。このサイトには、http://bit.ly/J7lH84　など、旧暦と農業的行事の関連などを調査している。

回転面がほぼ変わらないまま月が15日で裏側に行くので今度　近地点と遠地点が、逆になり、月の視直径が小さくなって、金環日食になる。36万キロと40万キロというから、等尺で書いてもわかる違い。地球が球ではなく回転楕円体だとっても、こちらは線の太さにも現れないくらいの違い。3年前に皆既日食だったから、われわれはかなりラッキーである。

ボンゾ効果による錯視)

ただし、地平線近くの月は大きく見える。実際の差以上にである。これはボンゾ錯視といいう。

ポンゾ錯視の強烈な例　http://www.moillusions.com/2008/09/ponzo-illusion-collection.html　から。小さい方の人は、同じ大きさである。比較するものによって、感じる大きさが、こうも違うのである。(蛇足: この写真の場所は、Stanford大学のMain Quad(中央校舎)ではないかと思う。下に写真をつけた。後ろが庭なので、90度角度が違うようである。）

　

　以下にも、ポンゾ錯視の例が載っている。　http://naglly.com/archives/2010/05/2.php　

実は、写真に撮って厳密に比較すると地平線の月より天頂の月の方がごくわずか大きいことがわかっているとのこと。これは天頂の月のほうが、水平線近くの月よりも地球半径分だけ近いからである。

地球から遠ざかる月）
月は、潮汐を発生し、地球の自転を遅くしつつ、地球の自転からエネルギーを経て、地球の周りの公転速度を加速しつつ、地球から遠ざかっている。

OK wave　http://okwave.jp/qa/q7453093.html　　に、いくつか回答があるが、どれも多かれ少なかれ間違っている。宇宙の膨張だとか、物体の収縮だとか、遠ざかると角運動量が減るとか。訂正しておくと、

1. 月の角運動量は増える。減るのは角速度。人工衛星の軌道でもわかるように、軌道が上がれば角速度は下がっていく。これは、後半に書いた月の公転角速度の年変化の計算でもわかる。
2. 角運動量保存の法則によって、地球の自転の速度低下で減った角運動量の分だけ、月の公転の角運動量は増える。http://moonstation.jp/ja/qanda/F320　にも説明がある。
3. 地球の自転速度低下で失ったエネルギーと、月が公転速度向上で得たエネルギーの差が、潮汐力などで熱に変わったエネルギー。
4. ただし、地球は慣性モーメントの減少で加速している効果もあり、月の潮汐力による影響は実際の自転の速度減少よりも大きい。http://bit.ly/J4a28p　などに、地震による地球の自転加速の情報がある。
5. 地球の自転は、ほぼリアルタイムに高精度に測れるようになっている。
   http://bit.ly/JY41x7　のように毎日変動している。

http://bit.ly/KuUTAS　から地球の自転エネルギーが計算できるはずである。1年に10万分の1秒だけ、月の潮汐力の影響で自転が遅くなるので、潮汐力で失うエネルギーや角運動量が計算できる。角運動量保存の法則により、この地球が、失った角運動量が、月の得る角運動量になる。おそらくそこから月が1年で3cmずつ遠ざかる（先のOK waveによると) ことが計算されるであろう。http://bit.ly/JXZwmr　にも月は1年に3cmずつ遠ざかるとある。地球が誕生した頃は、一日は5時間程度だった。6億年前でも約22時間程度で、今よりもずっと早く自転していたとあり、これが遅くなった理由として、月の潮汐力が説明されている。
http://bit.ly/JUEkP8　をみると、月ができたころには、月は24,000kmの距離にあったという。静止衛星の位置よりも地球に近かった!!

http://bit.ly/JXil92　に数値データがあるので計算してみる。角運動量は現在も高2の物理で出てくるらしい。あとは簡単な微分であり、高校生で解けるはずである。実は高校で習うことを応用してみると面白い。（大学に行けばベクトル力学も習い、もっといろいろなことができるし、高校で疑問だった数学、物理、化学の謎のかなりは究明される。。また、そのうち書くことにしたい。)

あとから見付けたのだが、http://bit.ly/JXUrKK　にも計算がある。ただし、ここでは、月の後退の速さは求めることができないとあり、地球の自転の低下率と後退の速さの比だけを求めている。が、今回、以下のように計算することができた。excelで計算しているので、計算ミスは無いと思う。電卓よりもexcelの方が検算もしやすくミスも少ないので、お勧めする。
当然のことだが、m,k,sに単位を統一して計算している。ディメンジョンを確認すれば、考察の誤りも見付けやすいが、値があっていそうなので、これはやっていない。ただし、以下の、月の公転角速度の低下に関しては、試してみた。

1. 現在の地球の角運動量:　L_E=5.83×10³³(kg・m²/s).
   慣性モーメントI_Eとその角速度w_Eの積： L_E=I_E×w_{E　であり、} I_E（測定値）=8.02×10³⁷ (kg・m²)と w_E（現在の値）=7.27×10^-5(/s)　から計算される。
2. 現在の月の自転の角運動量: L_M=2.36×10²⁹ (kg・m²/s). 地球の24,700分の１ 程度であるので、無視できる。
3. 現在の月の地球の周りの公転の角運動量: Lo=2.9×10³⁴ (kg・m²/s). 地球の自転角運動量の５倍ある！ (計算してみると、上記webにある値の10³³が間違いであることがわかる。）
    L_o=mwr²である. wは月の公転角速度となる。 w_Eとの比率は、L_o=3.997×10³⁸ w_Eとのこと。

ということで、月の自転の角運動量は無視する。とすると、

1. 地球の自転が1年に10万分の1秒=1×10^-5秒づつ遅くなるとあるが、http://bit.ly/JXUrKK　には、地球の慣性モーメントの減少に伴う加速分もあるので、月の潮汐力の寄与分は2.3×10^-5秒/年であるという。これは自転に対する比率としては、2.66×10^-10であり、地球の自転に関しては、毎年失われる角運動量は、ΔL_o=1.55×10²⁴(kg・m²/s)　となる。
2. これが、月の公転の角運動量　L_o=mwr²の増加分になる。mは月の質量。wは角速度すなわちw=v/r、rは公転半径である。したがって、L_o=mvr で示される。
3. 角運動量が増えたときに、月の公転速度と公転半径にどう分配されるかは、重力と遠心力の釣り合いの式から求まる。遠心力は、F = mv²/r   = mrw²重力は、wiki  http://bit.ly/JXDtMy　から、Mを地球の質量、mを月の質量とすると、

となる。は万有引力定数と呼ばれる比例定数で、



となる。
これから、 mv²/r　= G Mm/r² なので、v²= G M/r　すなわち

       v²r²=  r GM  から　vr =  √ (r GM )  となる。

4. 3の式をL_o=mvr  に代入してL_o=m√ (r GM ) これから、L_o²/m² = r GM 　となり、　r  = L_o²/(GMm²   )    この両辺を時間で微分して、差分の式に書き換えると、
   　Δr  = 2L_oΔL_o/(GMm²   )  となる。(G, M, mは定数であることに注意）
5. 地球のwiki　http://bit.ly/J1NK76　からMは、5.9736 ×10²⁴ kg、月のwiki http://bit.ly/JXKmNP から、mは、7.347673 ×10²² kg となる。
6. これを代入すると、2L_oΔL_o=9.0014 ×10⁵⁸ となりGMm² =2.15 ×10⁶⁰ となる。一年で遠ざかる距離Δr は、この2つから、0.0418 m すなわち4.18cmとなり。一年に3cmという値と、ほぼ一致する。冒頭に書いたOK waveの説明が間違っていることが、再度確認できた。
7. 月の潮汐力による、1年あたりの地球の角速度の遅れは、冒頭の1から　2π / (24 * 3600 ) * 2.3×10^-5  = 6.16 ×10^-10（ラジアン/s ）となる。
8. 月の公転角速度の減少は、L_o=mwr²  の両辺を時間で微分すると、積と合成関数の微分から、dL_o/dt =m(r² dw/dt + 2wr dr/dt) となり、差分表記に変換すると、ΔL_o=mr² Δw + 2mwr Δr　となる。
   すなわち、Δw = (ΔL_o  - 2mwr Δr) /(mr² ) である。計算すると、分子は - 4.74 ×10²⁴(kg・m²/s)、分母は 1.09 ×10⁴⁰　(kg・m²)、結果月の公転角速度の差分Δwは、- 4.36 ×10^-16 (ラジアン/s) となり、月の公転角速度もだんだんと遅れていくことがわかる。ディメンジョンも一致する。ここでは、月の公転周期は、27日7時間43.1分から236万秒。から、公転角速度は、2.66×10^-6 ラジアン/s を用いている。

誤差の検証)

 上の計算では、一年で遠ざかる距離が4.18cmとなり、実測の3cmよりも大きい。この誤差の理由は2つ考えられる。

1. 地球の中心が月の公転中心ではない
2. 月の潮汐力で失う、地球の慣性モーメントが正確でない

1 については、http://bit.ly/JUEkP8　にあるように、地球と月の回転中心が、地球の中心から少しずれているのを無視しているため。といっても、地球の表面から内側に170kmであるが、厳密には、ここを中心に、地球も月も公転している。
考慮すべきは、a) 地球が公転によって得る余計なエネルギー。b) 月が少しだけ公転中心に近いことによって、より大きめに遠ざかる分。
どれくらいのズレかL_o=mwr²  の式から、ざっくりと予想できる。後ほど試す。

2.については、1年に地球の自転は、10万分の1秒遅れるというのを、地球の慣性モーメントが減ることを考慮して、10万分の2.3秒として計算している。Δr  = 2L_oΔL_o/(GMm²   ) であり、ΔL_oは、自転の遅れ分に比例する。10万分の2.3秒が、実は2.3*3/4.3=2.02 => 10万分の2.02秒だと、計算結果のΔr  は3cmになる。

そのほか厳密な計算は、軌道計算式 http://bit.ly/KuX737 から、月が地球の周りを回る公転周期がどう変化するか計算できるはずである。

将来は、月が地球から遠ざかるのが止まる)
地球の自転の遅れ分(上記の計算で、現在は、1年あたり6.16 ×10^-10（ラジアン/s ）だけ減速する。こちらが大きい)。一方、月が、地球をまわる公転周期も遅れていくが、こちらは4.36 ×10^-16 (ラジアン/s)であり、地球の自転角速度の遅れに比べて6桁も小さい。月は地球に比べて軽いものの、月が遠くにあり、角運動量に積で掛かってくる回転半径が大きいからである。したがって、地球の自転の方が速く減速し、月が受け取るエネルギーは減ってゆく。最後に地球の自転速度が、月の公転周期と同じになったところで、地球へ月による潮汐力が働かなくなり、月が地球から遠ざかるのが終わることになる。

http://moonstation.jp/ja/qanda/F318　には、何十億年か先に、月の軌道があと40%遠くなると、月の公転速度と地球の自転速度が一致して、月が遠ざかるのが止まるだろうとある。月の満ち欠けの周期も地球の自転周期も現在の50日の長さになるとのこと。このころには、月の天頂上の位置は経度によって固定されるということになる。地球上の半分の地域では天球の同じ位置に月がいつも固定され、残り半分の地域は、月を見ることが出来ないことになる。月の公転によって、満ち欠けをするのは変わらない。

同様な地球の潮汐力の影響で、月はすでに公転周期と自転周期が一致し、常に同じ面を常に地球に向けるようになっている。

なぜ最初から自転と公転の速度は一致しないのか)
上記のように、自転と公転の速度が一致するのが安定なのに、なぜ最初は自転の方がはやいのか。
月は地球にぶつかって捕らえられた、極めて大きな隕石という説もあるので、別扱いとしても、太陽系にある惑星は、どれも公転周期よりも自転周期の方が早い。

これも角運動量保存則から説明できる。太陽系を形成した物質は、最初の最初は同じ速度で回っていたとしても、惑星の種に引き寄せられて集まるときに、角運動量保存則、すなわち、フィギアスケートの選手が手を縮めると回転速度が上がるのと同様の原理で、惑星の自転速度を上げていったと思われる。

角運動量でないかたちで、直感的に説明すると以下の図のようになる。このほうが分かりやすいかもしれない。図の下に説明する。

つまり、原始地球と同じ速度(正しくは角速度）で、内側のチリ(四角）と外側のチリ（三角）が回っている。原始地球の自転の向きは公転と同じ向きである。このとき、線速度は、Vin < Ve < Voutとなる。円形のコースを走るときと同様に外側の人が速く走らないとならない。
Vinで回っている内側のチリが地球の引力に引かれ、地球におちていくと、地球の表面を後ろ側に引っ張る。すなわち地球の自転が速くなる。
Voutで回っている外側のチリが地球の引力に引かれ、地球に落ちていくと、地球の表面を前向きに引っ張る、すなわち地球の自転が速くなる。

というわけで、チリがおちて原始地球が成長するにつれて、原始地球の自転は、公転と同じ向きのまま、どんどん速くなるわけである。これが惑星の自転と公転が同じ回転方向である説明にもなる。

ただし、太陽系の中で、金星と天王星は自転が逆行している。http://bit.ly/JQrTpf　にあるが、天王星は惑星の衝突で自転がひっくり返り。金星は、ほんのわずかだが、公転よりも逆に回っているとのことである。

関連記事)  2013/10/16追記
2013年10月13日 23:26　「思ってたよりずっと凄かった…月がISS（国際宇宙ステーション）の位置にあったらこう見える（動画）」　http://bit.ly/1aNtQLF 　というblogがあった。写真を引用する。

そもそも、地上350kmのISSの軌道位置に半径1,700kmの月を置くというのは、どういうことだろう。

普通は星の距離は中心位置の距離で表すはずだが、月が地球に一番近い位置が、ISSの軌道ということなのだろうか。。普通の言い方に直すと1,700+350 = 地上 2,050kmに月を置くということになる。。

すると、ISSの軌道に月を置くのは地上2,050 kmになり、地球と月のロシュの限界　http://bit.ly/JUEkP8　の地上4,200km よりも近いので、月は潮汐力で、またたくまにバラバラになる。

See Also: ロシュの限界: wiki:   http://ja.wikipedia.org/wiki/ロシュ限界

そもそも、ロシュ限界4,200kmを考えてみると、地球半径は6,378km、月の半径は1,700km　http://ja.wikipedia.org/wiki/月　なのなので、宇宙の遠方から見れば、ロシュの限界ぎりぎりの位置に月があっても、ほとんどくっついてるように見えるはずである。

ともあれ、本節冒頭で引用したリンクを読むと。月ができたてのころは、地球からの距離が19,220～24,000kmで、現在の1/16〜1/20程度。地球の周りを10時間でまわり、ものすごい潮汐力で潮の満ち引きの差が1kmあったとのこと。

すごい世界であったと思う。